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Akademische Veröffentlichungen
In dieser Masterarbeit behandeln wir das folgende kombinatorische Optimierungsproblem aus der diskreten Geometrie: Gegeben sei eine endliche Menge von Punkten in allgemeiner Lage in der Ebene. Wir wollen die Strecken zwischen je zwei dieser Punkte in einer von zwei Farben färben, sodass die Anzahl der monochromatischen Kreuzungen, also die Anzahl der Kreuzungen von Strecken in der gleichen Farbe, minimal ist. In dieser Arbeit werden einige Ansätze betrachtet, z.B. wie man mit lokaler Optimierung eine obere Schranke findet, als auch eine untere Schranke, die man mittels linearen Programmen erhält. Mit den erwähnten Methoden wurde das Problem für alle Punktmengen in allgemeiner Lage bis zu zehn Punkten mit Computerunterstützung gelöst.
Symmetrische Polynome bilden einen interessanten Teilring der Polynome in mehreren Variablen. Für jede Schranke n ∈ N bildet die Menge der symmetrischen Polynome mit Grad höchstens n einen endlichdimensionalen Vektorraum über dem Grundring. Zu diesem Vektorraum gibt es fünf kanonische Konstruktionen für eine Basis. Diese Arbeit befasst sich insbesondere mit der Basisumrechnung und den zugehörigen Basistransformationsmatrizen. In der Fachbereichsarbeit (siehe unten) wurde mit kombinatorischen Argumenten eine Zeile der Transformati- onsmatrix zwischen Elementarsymmetrischen Funktionen und Potenzsummen hergeleitet. In dieser Arbeit wird mittels erzeugender Funktionen und Partitionen ein allgemeines Resultat hergeleitet, das auf I. G. Macdonald zurückgeht. Abschließend werden in für kleine Dimensionen die entsprechenden Übergangsmatrizen berechnet.
Diese Fachbereichsarbeit erwähnt und wiederholt in Kapitel 1 viele Eigenschaften und Sätze über Polynome. Dieses Kapitel baut jene mathematischen Grundlagen auf, die im Kapitel 2 benötigt werden. Dazu zählt z.B. der Begriff der Polynome in mehreren Variablen (1.5) und die Anzahl der Partitionen einer natürlichen Zahl (1.6). Kapitel 2 stellt den Hauptteil dieser Arbeit dar. Der Kern der Arbeit ist die Newton’sche Beziehung (2.2), welche uns eine rekursive Vorschrift zur Berechnung der Koeffizienten jenes Polyoms von elementarsymme- trischen Polynomen gibt, welches der g-ten Potenzsumme identisch ist. Aus dieser rekursiven Darstellung schließen wir eine explizite (Satz 2.2.10). Im Weiteren (2.3) befassen wir uns mit Spezialfällen, in denen die Berechnung der Koeffizienten noch einfacher wird. Abschnitt 2.4 liefert Ansätze zu interessanten, bisher ungelösten, weiterführenden Fragestellungen. Kapitel 3 beschäftigt sich mit Aufgaben, bei denen die Erkenntnisse dieser Fach- bereichsarbeit zielführend sind. Im Anhang (6.1) sind die Koeffizienten der Potenz- summen bis zu s10 berechnet.